ЕГЭ профиль № 18
Викторина

Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствии ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Оля набрала 35 баллов.

а) На сколько вопросов Оля ответила правильно, если в викторине было 24 вопроса?

б) На сколько вопросов Оля не дала ответа, если в викторине было 25 вопросов?

в) На сколько вопросов Оля ответила неверно, если в викторине было 37 вопросов?

Решение:

Пусть х — кол-во вопросов, на которые Оля ответила правильно, тогда 8х — кол-во баллов, которые были начислены за правильные ответы;

Пусть у — кол-во вопросов, на которые Оля ответила неверно, тогда 8у — кол-во баллов, которые были списаны за неверные ответы;

Пусть z — кол-во вопросов, на которые Оля не дала ответа, тогда 3z — кол-во баллов, которые были списаны за отсутствие ответа

x+y+z — общее число вопросов

8х-8у-3z = 35 — общее кол-во набранных баллов по викторине

а) х+у+z = 24 — общее число вопросов

8х-8у-3z=35 — общее кол-во набранных баллов

Выразим из 1-го уравнения х и подставим его во 2-е уравнение:

8(24-у-z)-8у-3z = 35

192-8у-8z-8у-3z = 35

157-16у-11z = 0

Корни уравнения у = 5 и z = 7:

157-16·5-11·7 = 0

157-80-77 = 0

0 = 0

Тогда х = 24-у-z = 24-5-7 = 12

Т.е. кол-во правильных ответов — 12, неверных — 5, без ответа — 7

б) х+у+z = 25

8x-8y-3z = 35

Выразим из 1-го уравнения х и подставим его во 2-е уравнение:

8·(25-y-z)-8y-3z = 35

200-8y-8z-8y-3z = 35

165-16y-11z = 0

Корни уравнения у = 0 и z = 15:

165-16·0-11·15 = 0

165-0-165 = 0

0 = 0

Тогда х = 25-у-z = 25-0-15 = 10

Т.е. кол-во правильных ответов — 10, неверных — 0, без ответа — 15

в) x+y+z = 37

8x-8y-3z = 35

Выразим из 1-го уравнения х и подставим его во 2-е уравнение:

8·(37-y-z)-8y-3z = 35

296-8y-8z-8y-3z = 35

261-16y-11z = 0

Корни уравнения у = 6 и z = 15:

261-16·6-11·15 = 0

261-96-165 = 0

0 = 0

Тогда х = 37-у-z = 37-6-15 = 16

Т.е. кол-во правильных ответов — 16, неверных — 6, без ответа — 15

Ответ: а) 12; б) 15; в) 6