Числа на доске 2 ЕГЭ профиль № 18

На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна 1255.

а) Может ли на доске быть ровно 31 четное число?

б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?

Решение:

Четные числа кратны 2, то есть любое четное число можно представить в виде 2d

Число, десятичная запись которого оканчивается на цифру 5, делится на 5, тогда его можно представить в виде 10d+5

а) Если на доске написано 31 четное число: b₁ < b₂ < … < b₃₁, тогда на доске 7 чисел, кратных 5: a₁ < a₂ <  … < a₇.

Найдем S₁ — минимальную сумму чисел, оканчивающихся на цифру 5. Это возможно в случае, если a₁ = 5, a₂ = 15, a₃ = 25, … a₇ = 65. S₁ — сумма арифметической прогрессии с a₁ = 5, d = 10 и a₇ = 65.

S₁ = n(a₁+a₇ )/2 = 245

Найдем S₂ — минимальную сумму чисел, кратных 2. Это возможно в случае, если b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 6, … b₃₁ = 62. S₂ — сумма арифметической прогрессии с b₁ = 2, d = 2 и b₃₁ = 62.

S₂ = n(b₁+b₃₁ )/2 = 992

Найдем S  — минимальную сумму всех чисел на доске.

S = S₁ + S₂ = 245 + 992 = 1237 < 1255

⬇

Да, может. Например, четные числа — 2,4,6, …, 60, 80 и нечетные числа — 5, 15, …, 65

б) Если на доске написано 35 четных чисел: b₁ < b₂ < … < b₃₅, тогда на доске 3 числа, кратных 5: a₁ < a₂ <  a₃.

Найдем S₂ — минимальную сумму чисел, кратных 2. Это возможно в случае, если b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 6, … b₃₅ = 70. S₂ — сумма арифметической прогрессии с b₁ = 2, d = 2 и b₃₅ = 70.

S₂ = n(b₁+b₃₅ )/2 = 1260 > 1255

⬇

Нет, не может.

в) Пусть на доске написано 4 числа, запись которых оканчивается на цифру 5: a₁ < a₂ <  a₃ < a₄. Тогда на доске 34 четных числа: b₁ < b₂ < … < b₃₄

Найдем S₁ — минимальную сумму чисел, оканчивающихся на цифру 5. Это возможно в случае, если a₁ = 5, a₂ = 15, a₃ = 25, a₄ = 35. S₁ — сумма арифметической прогрессии с a₁ = 5, d = 10 и a₄ = 35.

S₁ = n(a₁+a₄ )/2 = 80

Найдем S₂ — минимальную сумму чисел, кратных 2. Это возможно в случае, если b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 6, … b₃₄ = 68. S₂ — сумма арифметической прогрессии с b₁ = 2, d = 2 и b₃₄ = 68.

S₂ = n(b₁+b₃₄ )/2 = 1190

Найдем S  — минимальную сумму всех чисел на доске.

S = S₁ + S₂ = 80 + 1190 = 1270 > 1255

⬇

На доске не может быть написано 4 числа, запись которых оканчивается на цифру 5.

Пусть на доске написано 5 чисел, запись которых оканчивается на цифру 5: a₁ < a₂ <  … < a₅. Тогда на доске 33 четных числа: b₁ < b₂ < … < b₃₃

Найдем S₁ — минимальную сумму чисел, оканчивающихся на цифру 5. Это возможно в случае, если a₁ = 5, a₂ = 15, a₃ = 25, … a₅ = 45. S₁ — сумма арифметической прогрессии с a₁ = 5, d = 10 и a₅ = 45.

S₁ = n(a₁+a₅ )/2 = 125

Найдем S₂ — минимальную сумму чисел, кратных 2. Это возможно в случае, если b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 6, … b₃₃ = 66. S₂ — сумма арифметической прогрессии с b₁ = 2, d = 2 и b₃₃ = 66.

S₂ = n(b₁+b₃₃ )/2 = 1122

Найдем S  — минимальную сумму всех чисел на доске.

S = S₁ + S₂ = 125 + 1122 = 1247 < 1255

⬇

Наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, — пять. Например, четные числа — 2,4,6, …, 64, 74 и нечетные числа — 5, 15, …, 45

Ответ: а) да; б) нет; в) 5