ЕГЭ профиль № 11
Точка минимума

Найдите точку минимума функции y=x³+18x²+17 на отрезке [-3; 3].

Решение:

Напомним алгоритм поиска точки минимума/максимума функции:

1. Найти производную;
2. Приравнять ее к нулю и решить уравнение;
3. На числовой прямой расставить знаки производной с учетом ОДЗ;
4. Расставить стрелки, характеризующие поведение функции;
5. Точка максимума — переход с возрастания функции на убывание.
   Точка минимума — переход с убывания функции на возрастание.

Итак, найдем производную:

y’=(x³+18x²+17)’=(x³)’+(18x²)’+(17)’=3x²+18(x²)’+0=3x²+18·2x=3x²+36x

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x²+36x=0

3x(x+12)=0

x=0 или x=-12

Расставим на числовой прямой знаки производной:

Схематично изобразим поведение функции: если функция возрастает, производная положительна; если функция убывает, производная отрицательна.

Максимум — переход с возрастания на убывание. Минимум — переход с убывания на возрастание.

Убедимся в том, что точка минимума принадлежит отрезку, указанному в условии задачи.

Ответ: 0