ЕГЭ профиль № 15
Бригада рабочих

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает р человек, то каждый из них получает в сутки 200р руб. Если на втором объекте работает р человек, то каждый их них получает в сутки (50р+300) руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Решение:

Пусть на первом объекте работает р человек, тогда на втором объекте работает (30-р) человек. 

Так как зарплата одного человека на первом объекте 200р руб., то все рабочие на первом объекте получают 200р² руб. 

Так как зарплата одного человека на втором объекте (50р+300) руб., то все рабочие на втором объекте получают (50(30-р)+300)(30-р) руб. 

Суммарная суточная зарплата S:

S = 200p² + (50(30-p)+300)(30-p) = 250p²-3300p+54000 →min

Для того, чтобы найти минимальное значение S найдём производную и приравняем её к нулю:

S` = 500p-3300 = 0 →р = 6,6 — точка минимума

При p = 6,6 суточная зарплата S →min, но р- число рабочих на первом объекте, поэтому р — целое число. График непрерывной функции S – парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, необходимо проверить ближайшие целые числа, т.е. р = 6 и р = 7:

S(6) = 250·36-3300·6+54000 = 43200 руб. 

S(7) = 250·49-3300·7+54000 = 43150 руб. 

S принимает минимальное значение при р = 7. Т.е. необходимо отправить 7 рабочих на 1-й объект и 23 рабочих — на 2-й объект. 

Ответ: 1-й объект — 7 рабочих, 2-й объект — 23 рабочих. Наименьшая суточная зарплата — 43150 руб.