ЕГЭ профиль № 18
Новый разбор задачи от 10.05.2022 г

Марина составляет из n четверок числа и находит всевозможные их суммы. Например, если n = 4, то возможных сумм было бы 5:

1. 4+4+4+4=16;
2. 4+4+44=52;
3. 44+44=88;
4. 444+4=448;
5. 444

А) Может ли одна из сумм S равняться 460, если n=25?

Б) Может ли одна из сумм S равняться 800, если n=25?

В) Сколько существует различных значений n, для которых одна из сумм равна 800?

Решение:

А) Да, может.  Например, 4∙5 + 44∙10 = 460.

Пусть было n чисел, равных 44, тогда должно быть (25 – 2n) четверок:

4 ∙ (25 – 2n) + 44∙n = 460;
100 – 8n + 44n = 460;

36n = 360;

n = 10.

Б) Нет, не может.

Пусть одно из чисел было 444 и n чисел, равных 44, тогда:

444 + 44∙n + 4∙(25 – 3 – 2n) = 800;

444 + 44n + 100 – 12 – 8n = 800;

36n = 268;

n = 268/36 = 67/9 – не подходит, так как n ∈ ℤ.

Рассмотрим другой вариант:

44∙n + 4∙(25 – 2n) = 800;

44n + 100 – 8n = 800;

36n = 700;

n = 700/36 = 175/9 – не подходит, так как n ∈ ℤ.

В) Пусть a ≥ 0 и b ≥ 0, тогда:

444 + 4∙a + 44∙b = 800;

4a + 44b = 356;

a + 11b = 89;

a = 89 – 11b.

Уравнение будет иметь решения при b≤8.

n = a + 2∙b + 3 – число n четверок числа.

Тогда:

Рассмотрим другой вариант:

4∙a + 44∙b = 800;

a +  11b = 200;

a = 200 – 11b.

Уравнение будет иметь решения при b≤8.

n = a + 2∙b – число n четверок числа.

Тогда:

Итого, получаем  различных значений n, для которых одна из сумм равна 800.

Ответ: а) да; б) нет; в) 21.