ЕГЭ профиль № 13 Пятиугольная призма

В прямой пятиугольной призме ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ высота AA₁ равна 3√5, BC=CD=6, а четырехугольник ABDE — прямоугольник со сторонами AB=5 и AE=4√5.

а) Докажите, что плоскости CA₁E₁ и AED₁ перпендикулярны.

б) Найдите объем многогранника CAED₁B₁. 

Решение: 

Получим сечение призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью AED₁. Для этого соединим точки D₁ и B₁ ( т.к. EA || D₁B₁). Соединим точки A и B₁ (∈ (ABB₁A)). Искомое сечение AD₁B₁A.

Получим часть сечения призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ плоскостью CA₁E₁.  Проведем медиану CH₁ в △СE₁A₁ и построим H₁H₂ || EE₁ || AA₁. Соединим точки H₂ и C. Проведем в плоскости (ED₁B₁A) прямую IH₂ || ED₁ || AB₁. Тогда (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = I.

Продлим стороны ED и AB и проведем через точку C прямую || E₁A₁ || EA. Соединим точки E₁ и F; A₁ и Q. Тогда (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = O₁. 

Так как (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = O₁ и (ED₁B₁A) ∩ (CE₁A₁) = I, тогда O₁I — линия пересечения плоскостей.

а) Теперь докажем, что плоскости CA₁E₁ и AED₁ перпендикулярны.

Так как △СE₁A₁ — равнобедренный, CH₁ — медиана, высота и биссектриса, то CH₁ ⟂ E₁A₁; E₁A₁ || EA, и CH₁ ⟂ EA.

(CH₃)² = 6² — (2√5)² = 36 — 20 = 16

CH₃ = 4 = DF

∠E₁ED₁ + ∠D₁EF = 90°

tg∠E₁ED₁ = 5/(3√5) = √5/3

tg∠O₁FE = (3√5)/9=√5/3

Отсюда ∠E₁ED₁ = ∠O₁FE, значит ∠O₁FE + ∠D₁EF = 90° и ∠EO₁F = 90°. 

Так как E₁F ⟂ ED₁, а E₁F || H₁C, то H₁C ⟂ ED₁. 

Имеем следующее: H₁C ⟂ ED₁ и H₁C ⟂ EA, отсюда  H₁C ⟂ (AED₁B₁). Но H₁C ∈ (CE₁A₁), тогда (CE₁A₁) ⟂ (AED₁B₁) или (CE₁A₁) ⟂ (AED₁). 

Ч. т. д. 

б) Многогранник CAED₁B₁ — пирамида с вершиной C и основанием ED₁B₁A. Так как (CE₁A₁) ⟂ (AED₁), то CI — высота пирамиды CAED₁B₁.

(E₁F)² = (EE₁)² + (EF)² = (3√5)² + 9² = 45 + 81 = 126

E₁F = 3√14

(ED₁)² = (EE₁)² + (E₁D₁)² = (3√5)² + 5² = 45 + 25 = 70

E₁F = √70

△E₁O₁D₁ ~ △EO₁F по двум углам (∠E₁O₁D₁ = ∠EO₁F (вертикальные), ∠E₁D₁O₁ = ∠O₁EF (накрест лежащие)). Тогда E₁D₁/EF = E₁O₁/O₁F или O₁F = 9E₁F/14.

O₁F = 27√14/14 = CI.

ED₁ ⟂ EA по теореме о трех перпендикулярах (DD₁ ⟂ (ABCDE), ED ⟂ EA ).

Тогда ED₁B₁A — прямоугольник. Найдем его площадь: 

S = ED₁ ∙ EA = √70 ∙ 4√5 = 20√14

Тогда объем многогранника CAED₁B₁:

V = ⅓ ∙ CI ∙ S = ⅓ ∙ 27√14/14 ∙ 20√14 = 180

Ответ: б) 180