Задача с параметром. Графический способ решения.
ЕГЭ профиль 2023

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.

Решение:

Заметим, что система определена, если

Графиком функции

является парабола

ветви которой направлены вверх.

Графиком функции

 является прямая

Графиком функции

является прямая

 которая при любом значении параметра a проходит через точку с координатами (-1;0).

Ровно два решения будет только в следующем случае:

Прямая y=ax+a проходит через точку А(0;8) при a=8.

Прямая y=ax+a проходит через точку B(8;16) при a=16/9.

Найдем, при каком значении параметра, прямая проходит через точку С — точку касания двух графиков функций. Для этого приравняем функции и их производные:

Если прямые y=ax+a и y=x+8 параллельны, система уравнений также имеет два решения. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, значит, a=1.

Запишем ответ:

Ответ: