ЕГЭ профиль № 18
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение x² — px + q = 0, все коэффициенты которого являются натуральными числами, имеет корни, которые также являются натуральными числами.
а) Найдите все значения p, если известно, что q = 5.
б) Может ли быть p < 10, если известно, что q > 30 ?
в) Найдите наименьшее значение p, если известно, что q > 30 ?
Решение:
а) Так как q = 5, уравнение примет следующий вид: x² — px + 5 = 0.
По теореме Виета, произведение корней уравнения x₁ ∙ x₂ = 5, сумма корней x₁ + x₂ = p.
Рассмотрим все возможные случаи:
x₁ | x₂ | p = x₁ + x₂ |
1 | 5 | 6 |
5 | 1 | 6 |
Значит, p = 6.
б) Запишем выражение для дискриминанта квадратного уравнения: D = p² — 4q ≥ 0 (по условию)
Если p < 10, то 0 < p² < 100.
Если q > 30, то — 4q < -120.
Тогда D = p² — 4q < — 20 — противоречие ⇒ Нет, не может.
в) Из пункта б) мы знаем, что при q > 30, коэффициент p не может быть меньше 10.
Пусть p = 10, тогда:
x₁ | x₂ | p = x₁ + x₂ | q = x₁ ∙ x₂ |
1 | 9 | 10 | 9 < 30 — не подходит |
2 | 8 | 10 | 16 < 30 — не подходит |
3 | 7 | 10 | 21 < 30 — не подходит |
4 | 6 | 10 | 24 < 30 — не подходит |
Пусть p = 11, тогда:
x₁ | x₂ | p = x₁ + x₂ | q = x₁ ∙ x₂ |
1 | 10 | 11 | 10 < 30 — не подходит |
2 | 9 | 11 | 18 < 30 — не подходит |
3 | 8 | 11 | 24 < 30 — не подходит |
4 | 7 | 11 | 28 < 30 — не подходит |
5 | 6 | 11 | 30 = 30 — не подходит |
Пусть p = 12, тогда:
x₁ | x₂ | p = x₁ + x₂ | q = x₁ ∙ x₂ |
1 | 11 | 12 | 11 < 30 — не подходит |
2 | 10 | 12 | 20 < 30 — не подходит |
3 | 9 | 12 | 27 < 30 — не подходит |
4 | 8 | 12 | 32 > 30 — подходит |
5 | 7 | 12 | 35 > 30 — подходит |
Значит, p ≥ 12.
Приведем пример для p = 12: x² — 12x + 32 = 0 или x² — 12x + 35 = 0
Ответ: а) 6; б) нет; в) 12
Привет ! Меня зовут Надежда. Я автор и ведущая курсов подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
