ЕГЭ профиль 2023 № 15
Экономическая задача
В июле 2025 года планируется взять кредит на 10 лет под 10% годовых. Условия возврата кредита таковы:
- в январе каждого года долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2030 года долг составит 800 тыс.руб.;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 долг должен быть на одну и ту же величину (но уже на другую) меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат после полного его погашения равна 2090 тыс.руб.
Решение:
Пусть k = 1,1 – повышающий коэффициент; S – размер кредита; x – величина, на которую уменьшается долг в 2026-2030 гг.; b – величина, на которую уменьшается долг в 2031-2035 гг.
Составим таблицу:
Год | Долг до платежа (январь) | Платеж (февраль-июнь) | Долг после платежа (июль-декабрь) |
| 2026 | kS | kS – S + x | S – x |
| 2027 | kS – kx | kS – kx – S + 2x | S – 2x |
| 2028 | kS – 2kx | kS – 2kx – S + 3x | S – 3x |
| 2029 | kS – 3kx | kS – 3kx – S + 4x | S – 4x |
| 2030 | kS – 4kx | kS – 4kx – S + 5x | S – 5x = 800 (*) |
| 2031 | 800k | 800k – 800 + b | 800 – b |
| 2032 | 800k – kb | 800k – kb – 800 + 2b | 800 – 2b |
| 2033 | 800k – 2kb | 800k – 2kb – 800 + 3b | 800 – 3b |
| 2034 | 800k – 3kb | 800k – 3kb – 800 + 4b | 800 – 4b |
| 2035 | 800k – 4kb | 800k – 4kb – 800 + 5b | 800 – 5b = 0 (**) |
Тогда общая сумма выплат:
5kS + 4000k – 5S – 4000 – kx(1+2+3+4) + x(1+2+3+4+5) – kb(1+2+3+4) + b(1+2+3+4+5) = 2090
Из (**) найдем b:
800 = 5b
b = 160 тыс.руб.
С учетом (*) имеем следующее:
5∙1,1∙(800+5x) + 4000∙1,1 – 5(800+5x) – 4000 – 1,1∙10x + 15x – 1,1∙10∙160 + 15∙160 = 2090
5,5∙(800+5x) + 4400 – 5(800+5x) – 4000 – 11x + 15x – 1760 + 2400 = 2090
4400 + 27,5x + 4400 – 4000 – 25x – 4000 – 11x + 15x – 1760 + 2400 = 2090
6,5x = 650
x = 100 тыс.руб.
Тогда размер кредита:
S = 800 + 5x = 800 + 500 = 1300 тыс.руб.
Ответ: 1300 тысяч рублей.
Привет ! Меня зовут Надежда. Я автор и ведущая курсов подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
