ЕГЭ профиль № 16
Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике ABC точка D лежит на катете AC, а точка F — на продолжении катета BC за точку C, причем CD = BC и CF = AC. Отрезки CM и CN — высоты треугольников ABC и FCD соответственно.

а) Докажите, что CM и CN перпендикулярны.

б) Прямые AF и BD пересекаются в точке K. Найдите DK, если BC = 3, AC = 9.

Решение:

а) Заметим, что ∆BCA=∆CFD по двум катетам (т.к. BC=CD, AC=CF, ∠BCA=∠DCF=90°) ⇒ ∠CBA=∠CDF.

Пусть ∠CBA=∠CDF=x°, тогда ∠BCM=90°-x°, ∠MCA=x°, ∠DCN=90°-x°.

Найдем ∠MCN = ∠MCA + ∠DCN = x° + 90° — x° = 90°. Отсюда следует, что MC⟂CN. 

ч.т.д.

б) Рассмотрим ∆ BCD — он равнобедренный, т.к. BC = CD (по условию). 

Отсюда следует, что ∠CBD =∠CDB = (180°-∠BCD)/2 = (180°-90°)/2 = 45°.

∠BDC = ∠KDA = 45° (т.к. вертикальные углы равны).

Рассмотрим ∆ ACF — он равнобедренный, т.к. CF=AC (по условию).

Отсюда следует, что ∠CFA = ∠CAF = (180°-∠ACF)/2 = (180°-90°)/2 = 45°.

Рассмотрим ∆ AKD — он равнобедренный, т.к. ∠KDA = ∠KAD = 45°. 

AD = AC — CD = 9 — 3 = 6.

Тогда DK = AD∙cos45°=6√2/2=3√2.

Ответ: б) 3√2