ЕГЭ профиль № 15
Экономическая задача

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
• к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Решение:

S = 1000000рублей = 1000 тысяч рублей

b = 40 тысяч рублей

k = 1+r/100, где r — процент по кредиту

Долг после платежа (на 15-е число каждого месяца) уменьшается по следующей схеме:

1-й месяц: S-b = 960

2-й месяц: S-2b = 920

3-й месяц: S-3b = 880

..

n-й месяц: S-nb = 200 (*)

(n+1)-й месяц: 0, т.к. долг должен быть полностью погашен

Найдём n из (*):

1000 — 40n = 200

40n = 800

n = 20

Кредит был взят на (n+1) = на 21 месяц

Долг на 1-е число каждого месяца (после начисления процентов) равен:

1-й месяц: Sk = 1000k

2-й месяц: (S-b)k = 960k

3-й месяц: (S-2b)k = 920k

…

n-й месяц: S-(n-1)b)k = 240k

(n+1)-й месяц: 200k

Тогда платеж со 2-го по 14-е число каждого месяца равен:

1-й месяц: 1000k-960

2-й месяц: 960k-920

3-й месяц: 940k-880

…

n-й месяц: 240k-200

(n+1)-й месяц: 200k

Общая сумма выплат равна:

(1000+960+…+240)k-(960+920+…+200)+200k = 1378

12600k-11600 = 1378

12600k = 12978

12600(1+r/100) = 12978

12600+126r = 12978

126r = 378

r = 3%

Ответ: 3%