ЕГЭ профиль № 18
Квадрат и прямоугольник

Сторона квадрата на 3 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон — целые числа.

а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 8?

б) Может ли длина прямоугольника быть равной 16?

в) Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.

Решение:

Пусть сторона квадрата — х, тогда ширина прямоугольника — (х-3). Пусть длина прямоугольника — у.

Площадь квадрата = x²

Площадь прямоугольника = (x-3)y

Так как площади квадрата и прямоугольника равны, то x²=(x-3)у

а) Ширина прямоугольника равна 8, т.е. х-3=8. Тогда х = 11.

Получаем: 11²=8·у → y=121/8

Но стороны квадрата и прямоугольника — целые числа. Следовательно, ширина прямоугольника не может быть равной 8.

б) Длина прямоугольника равна 16, т.е. у=16

Получаем: x²=16(x-3)

x²-16x+48 = 0

D = 16²-4·1·48=256-192=64

x1=(16+8)/2=12 (сторона квадрата) → стороны прямоугольника равны 9 и 16

x2=(16-8)/2=4 (сторона квадрата) → стороны прямоугольника равны 1 и 16

→ Да, длина прямоугольника может быть равной 16.

в) x²=(x-3)у → x>3

x=4: стороны прямоугольника равны 1 и 16 (см.пункт б))

x=5: 5²=(5-3)у → y=25/2 → не подходит

x=6: 6²=(6-3)у → y=36/3=12 → стороны прямоугольника равны 3 и 12

…

(последовательно перебираем все варианты)

…

x=12: стороны прямоугольника равны 9 и 16 (см.пункт б))

Ответ: а) нет; б) да; в) 4×4 и 1×16; 6×6 и 3×12; 12×12 и 9×16