Телефон: +7 958 637 93 06

e-mail: info@ege100ballov.ru

Пирамида Номер 14

Основание пирамиды SABC — равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки M и N -середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём SN = AM.

а) Докажите, что угол между прямыми АМ и SN равен 60°.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ВС = 3√2.

 Решение:

пирамида егэ

а) Угол между скрещивающимися прямыми — угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Проведём через точку N прямую KF || AM.

Пусть α = ∠ SNF, тогда угол между прямыми AM и SN = ∠ (AM; CM) = α

егэ номер 14 пирамида

Опустим из точки А перпендикуляр на прямую FK

SA⟂(ABC), SD — наклонная, AD⟂FK, тогда SD⟂FK (по теореме о трёх перпендикулярах)

егэ № 14 пирамида

△ABM: NK || AM, AN = NB, тогда NK — средняя линия → NK = AM/2 = SN/2 → BK = KM = BM/2 = BC/4 → BC = AC = AB = 4BK

△ABC: AM — медиана, высота и биссектриса → △ABM — прямоугольный

Из вершины прямого угла M проведена медиана NM, тогда AN = NM = NB → △ADN = △NKB (по гипотенузе и острому углу, т.к. ∠AND = ∠ KNB как вертикальные) → DN = NK

△ABM: AM² = AB² — BM² = 16BK² — 4BK² = 12BK² → AM = SN = 2√3BK → NK = AM/2 = √3BK = DN

△SDN: cosα = DN/SN = (√3BK)/(2√3BK) = 1/2 → α = 60°

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Прямая SN принадлежит плоскости (SDN).

Опустим из точки А перпендикуляр AL на прямую SD. Тогда AL — расстояние между скрещивающимися прямыми AM и SN.

пирамида егэ № 14

ADKM — прямоугольник, тогда AD = KM = BC/4 = (3√2)/4

△SAN: AS² = SN² — AN² = 12BK² — 4BK² = 8BK² → AS = 2√2BK = 2√2·(BC/4) = 2√2·(3√2/4) = 3

△SAD: SD² = AS² + AD² = 9 + 9/8 = 81/8 → SD = (9√2)/4

Известно, что AD·AS = AL·SD → AL = (AD·AS)/SD → AL = 1

Ответ: б) 1

Онлайн-школа "Прорыв"
онлайн-школа прорыв

ЗАДАТЬ ВОПРОС