ЕГЭ профиль № 13
Правильная шестиугольная пирамида

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М – середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.

А) Докажите, что КМ = КВ.

Б) Найдите объём пирамиды CDKM.

Решение:

А) SO – высота пирамиды, т.е. SO⊥(ABC); прямые MD и FC пересекаются в точке K₁.

Вспомним признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Т.к. SO⊥(ABC) и SO∈(SFC), то (ABC)⊥(SFC).

Тогда KK₁⊥(ABC) → KK₁ – высота треугольника MKD.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF:

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, значит соответственные углы DAM и DOK₁ равны, т.е. ∠DAM= ∠DOK₁=60°.

По признаку параллельности прямых AM||OK₁.

AO=DO, AM||OK₁ → OK₁ – средняя линия ΔADM → MK₁=K₁D → KK₁ – высота и медиана в ΔMKD → ΔMKD – равнобедренный, т.е. KМ=KD.

Б) Построим пирамиду CDKM: