ЕГЭ профиль № 16
Треугольник
В треугольнике АВС известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Решение:
а)
Опустим высоту ВН на сторону АС, т.е. BH⟂AC
Так как MN – средняя линия, то MN || AC
→ MN ⟂ BH → △KLO – прямоугольный, тогда KO – гипотенуза и
KO > LO
Пусть r – радиус вписанной окружности, тогда KO = r и r > LO → MN пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б)
Точка Е – точка касания вписанной окружности с боковой стороной △АВС. Тогда АЕ = АН = 13 ( если к окружности из одной точки проведены две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны).
AM = BM = 38/2 = 19 (т.к. MN – средняя линия)
EM = AM – AE = 19 – 13 = 6
r = EO = HO = KO
△EMO: MO² = EM² + EO²
△MLO: LO² = MO² – ML²
△KLO: KL² = KO² – LO² = KO² – (MO² – ML²) = KO² – MO² + ML² = KO² – (EM²+EO²) + ML² = KO² – EM² – EO² + ML² = r² – 6² – r² + (13/2)² = 169/4 – 36 = 25/4 → KL = 5/2
Аналогично LF = 5/2
Тогда KF = KL + LF = 5/2 + 5/2 = 5
MK = ML – KL = 13/2 – 5/2 = 8/2 = 4
FN = LN – LF = 13/2 – 5/2 = 4
Получаем MK:KF:FN = 4:5:4
Ответ: б) 4:5:4

Привет ! Меня зовут Надежда. Я автор и ведущая курсов подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.