ЕГЭ профиль № 16
Треугольник

В треугольнике АВС известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Решение:

а)

Опустим высоту ВН на сторону АС, т.е. BH⟂AC

Так как MN — средняя линия, то MN || AC

→ MN ⟂ BH → △KLO — прямоугольный, тогда KO — гипотенуза и

KO > LO

Пусть r — радиус вписанной окружности, тогда KO = r и r > LO → MN пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б)

Точка Е — точка касания вписанной окружности с боковой стороной △АВС. Тогда АЕ = АН = 13 ( если к окружности из одной точки проведены две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны).

AM = BM = 38/2 = 19 (т.к. MN — средняя линия)

EM = AM — AE = 19 — 13 = 6

r = EO = HO = KO

△EMO: MO² = EM² + EO²

△MLO: LO² = MO² — ML²

△KLO: KL² = KO² — LO² = KO² — (MO² — ML²) = KO² — MO² + ML² = KO² — (EM²+EO²) + ML² = KO² — EM² — EO² + ML² = r² — 6² — r² + (13/2)² = 169/4 — 36 = 25/4 → KL = 5/2

Аналогично LF = 5/2

Тогда KF = KL + LF = 5/2 + 5/2 = 5

MK = ML — KL = 13/2 — 5/2 = 8/2 = 4

FN = LN — LF = 13/2 — 5/2 = 4

Получаем MK:KF:FN = 4:5:4

Ответ: б) 4:5:4