ЕГЭ профиль № 18
Геометрическая прогрессия

Даны пять различных натуральных чисел. Известно, что их произведение равно 6750.

а) Могут ли все пять чисел образовывать геометрическую прогрессию?

б) Могут ли четыре числа их этих пяти образовывать геометрическую прогрессию?

в) Могут ли три числа из этих пяти образовывать геометрическую прогрессию?

Решение:

Разложим число 6750 на множители:

6750 = 2⋅27⋅125 = 2¹ ⋅ 3³ ⋅5³

а) Если все пять чисел образовывают геометрическую прогрессию, то:

1-е число: а

2-е число: ka, где k — знаменатель прогрессии (k≠1)

3-е число: k²a

4-е число: k³a

5-е число: k⁴a

Рассмотрим их произведение и попробуем решить уравнение в целых числах:

a⋅ka⋅k²a⋅k³a⋅k⁴a = 6750

a⁵⋅k¹⁰ = 2¹⋅3³⋅5³

Мы видим, что уравнение не имеет решений. Значит, пять чисел не могут образовывать геометрическую прогрессию.

б) Если четыре числа образовывают геометрическую прогрессию, то:

1-е число: а

2-е число: ka, где k — знаменатель прогрессии (k≠1)

3-е число: k²a

4-е число: k³a

5-е число: b

Рассмотрим их произведение и попробуем решить уравнение в целых числах:

a⋅ka⋅k²a⋅k³a⋅b = 6750

a⁴⋅k⁶⋅b¹ = 2¹⋅3³⋅5³

Мы видим, что уравнение не имеет решений. Значит, четыре числа не могут образовывать геометрическую прогрессию.

в) Если три числа образовывают геометрическую прогрессию, то:

1-е число: а

2-е число: ka, где k — знаменатель прогрессии (k≠1)

3-е число: k²a

4-е число: c

5-е число: d

Рассмотрим их произведение и попробуем решить уравнение в целых числах:

a⋅ka⋅k²a⋅c⋅d = 6750

a³⋅k³⋅c¹⋅d¹ = 1¹⋅2¹⋅3³⋅5³

Уравнение имеет решения, если, например a = 5, k = 3, c = 1, d = 2. В таком случае получаем следующие числа:

1-е число: а = 5

2-е число: ka = 15

3-е число: k²a = 45

4-е число: c = 1

5-е число: d = 2

То есть 1, 2, 5, 15, 45

Или уравнение имеет решения, если, например a = 3, k = 5, c = 1, d = 2. В таком случае получаем следующие числа:

1-е число: а = 3

2-е число: ka = 15

3-е число: k²a = 75

4-е число: c = 1

5-е число: d = 2

То есть 1, 2, 3, 15, 75

Ответ: а) нет; б) нет; в) да. например 1, 2, 5, 15, 45