Телефон: +7 958 637 93 06

e-mail: info@ege100ballov.ru

Сечение пирамиды Номер 16

Противоположные боковые грани правильной четырехугольной пирамиды MABCD с основанием ABCD попарно перпендикулярны. Через середины K и L ребер AB и AD соответственно и точку М проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.

б) Найдите расстояние от точки D до плоскости α, если АВ = 9.

Решение:

задание 16 егэ профиль

а) Пусть F — середина CD

Так как противоположные боковые грани правильной четырехугольной пирамиды MABCD перпендикулярны, то MF⟂ML

Пирамида MABCD — правильная, значит проекция вершины M находится в центре основания (квадрата ABCD), то есть в точке О

Пусть AB = 2a, тогда AK = AL = a

△AKL: KL2 = AK2 + AL2 = a2 + a2 = 2a2 → KL = a√2

△MFL: MO⟂FL, MO — медиана, высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике

Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Отсюда получаем, что MO = FO = LO = a

△MOL: ML2 = MO2 + LO2 = a2 + a2 = 2a2 → ML = a√2

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Так как треугольники равны, то равны и их медианы, то есть MF = ML = MK = a√2

Получаем, что KL = ML = MK = a√2 → △MKL — равносторонний треугольник → сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.

б) Расстояние от точки D до плоскости α является высотой пирамиды MDKL = ρ. Высоту пирамиды мы будем искать из объема пирамиды MDKL.

номер 16 егэ профиль

Рассмотрим пирамиду MABCD:

VMABCD = 1/3⋅SABCD⋅h = 1/3⋅AB⋅AD⋅MO = 1/3⋅9⋅9⋅4,5 = 243/2

Рассмотрим пирамиду MDKL:

VMDKL = 1/3⋅SDKL⋅h

Пирамида MDKL имеет с пирамидой MABCD общую высоту h = MO = 4,5

SDKL = 1/2⋅SDAL (медиана KL делит △DAL на два равновеликих треугольника) = 1/2⋅1/2⋅SFDAL = 1/2⋅1/2⋅1/2⋅SABCD = 1/8⋅SABCD = 1/8⋅AB⋅AD = 1/8⋅81 = 81/8 = 10,125

пирамида егэ профиль № 16

Получаем VMDKL = 1/3⋅SDKL⋅h = 1/3⋅10,125⋅4,5 = 243/16

Запишем объем пирамиды MDKL через расстояние от точки D до плоскости α:

VMDKL = 1/3⋅SMKL⋅ρ

Найдем площадь треугольника MKL:

SMKL = 1/2⋅KL⋅KM⋅sin60 = 1/2⋅(4,5√2) ⋅(4,5√2) ⋅(√3/2) = 10,125√3

Подставим известные значения в формулу VMDKL = 1/3⋅SMKL⋅ρ:

243/16 = 1/3⋅10,125√3⋅ρ

Найдем ρ:

ρ = 1,5√3

Ответ: б) 1,5√3

Онлайн-школа "Прорыв"
онлайн-школа прорыв

ЗАДАТЬ ВОПРОС