ЕГЭ профиль № 13 Куб

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A₁ и D₁.

б) Найдите угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁

Решение:

а) Для начала соединим точки, лежащие в одной плоскости:

B и A₁ ; A₁ и D₁.

Вспомним, что две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым → A₁B || D₁C

И, наконец, соединим точки С и В.

Сечение построено.

б) Построим сечение куба плоскостью BA₁D₁: для этого просто соединим точки A₁, B и С₁.

Плоскости ВА₁С₁ и ВА₁D₁ пересекаются по прямой A₁B.

Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведёнными в этих плоскостях.

Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁C₁ из точки C₁ на прямую BA₁ : C₁H⟂BA₁

Пусть а – сторона куба, тогда A₁C₁ = C₁B = CD₁ = BA₁ = a√2 → △BA₁C₁ – равносторонний треугольник → HA₁ = HB

Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁D₁ из точки Н на прямую CD₁ : HK⟂CD₁ → KD₁ = CD (т.к. HA₁ = HB и A₁B || D₁C)

Отсюда получаем, что угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁ – угол C₁HK: ∠(BA₁C₁; BA₁D₁) = ∠C₁HK

△BA₁C₁ :

sin∠C₁A₁H = C₁H/A₁C₁ ⇔ sin60° = C₁H/A₁C₁ ⇔ √3/2 = C₁H/(a√2) → C₁H = (a√6)/2

△C₁D₁C ( равнобедренный прямоугольный треугольник) :

sin∠C₁D₁K = C₁K/C₁D₁ ⇔ sin45° = C₁K/C₁D₁ ⇔ √2/2 = C₁K/a → C₁K = (a√2)/2

A₁D₁CB: A₁D₁ = HK = BC = a

Рассмотрим △С₁HK и запишем для него теорему косинусов:

C₁K² = C₁H² + KH² -2·C₁H·KH·cos∠C₁HK

0,5a² = 1,5a² + a² -2·(a√6/2)·a·cos∠C₁HK

0,5a² = 1,5a² + a² -a²√6·cos∠C₁HK

a²√6·cos∠C₁HK = 1,5a² + a² – 0,5a²

a²√6·cos∠C₁HK = 2a²

√6·cos∠C₁HK = 2

cos∠C₁HK = 2/√6

cos∠C₁HK = √6/3

⬇

∠C₁HK = ∠(BA₁C₁; BA₁D₁) = arccos(√6/3)

Ответ: б) arccos(√6/3)