Угол между плоскостями
ЕГЭ № 13
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра SB, G – середина ребра SC.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.
Решение:
а) Проведём диагонали AC и BD, опустим высоту SO.
Соединим точки G, F и D.
SB = SD = 1 → △BSD – равнобедренный → BO = DO
BF = SF (по условию) → Точка К – точка пересечения медиан FD и SO → SK:KO = 2:1
Соединим точки A, B и G.
SA = SC = 1 → △ASC – равнобедренный → AO = CO
SG = CG (по условию) → Точка К – точка пересечения медиан AG и SO → SK:KO = 2:1
⬇
Плоскости ABG и GDF пересекаются в точках G и K
⬇
AG – прямая пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Угол между плоскостями – угол между перпендикулярами, проведёнными из этих плоскостей, к линии их пересечения.
△SCD (по свойству медианы):
△SBC (по свойству медианы):
△ABG = △ADG по трём сторонам (AG – общая, BG = DG = √3/2, AD = AB = 1)
Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AG.
Опустим перпендикуляр из точки D на прямую AG (DH⟂AG) и рассмотрим △ADG:
GD² = AG² + AD² -2·AG·AD·cos∠GAD
3/4 = 5/4 + 1 – 2·(√5/2)·1·cos∠GAD
cos∠GAD = (3√5)/10
cos∠GAD = AH/AD
AH = AD·cos∠GAD =(3√5)/10
DH² = AD² – AH² = 1 – 45/100 = 55/100
DH = √55/10
Так как △ABG = △ADG, то DH = BH = √55/10
∠(ABG; GDF) = ∠BHD – угол между плоскостями ABG и GDF
Рассмотрим △BHD и напишем для него теорему косинусов:
BD² = BH² + DH² -2·BH·DH·cos∠BHD
(√2)² = (√55/10)² + (√55/10)² -2·(√55/10)·(√55/10)·cos∠BHD
2 = 55/100 + 55/100 -2·(55/100)·cos∠BHD
2 = 11/20 + 11/20 – 11/10·cos∠BHD
2 = 11/10 – 11/10·cos∠BHD
cos∠BHD = -9/11
∠BHD = arccos(-9/11) = π – arccos(9/11)
Ответ: б) π – arccos(9/11

Привет ! Меня зовут Надежда. Я автор и ведущая курсов подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.