онлайн-школа прорыв

Телефон: +7 977 895 49 59

e-mail: info@ege100ballov.ru

Четырехугольник ЕГЭ профиль № 16

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

ЕГЭ профиль № 16

 Решение:

а) Рассмотрим ∆АВС: ∠BAC=∠BCA (так как AB = BC)

Пусть ∠BAC =  ∠ BCA = x˚

∠BCA = ∠BDA = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)

Аналогично ∠BAC = ∠BDC = x˚

∠BDC = DBC = x˚ (так как BC = DC)

∠DBC = ∠DAC = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)

Четырехугольник ЕГЭ № 16

Получаем, что ∠CAD = ∠BCA = x˚. Отсюда следует, что BC || AD при секущей AC.

б) Рассмотрим ∆ABC и воспользуемся теоремой синусов:

BC/sin∠BAC = 2R

BC/sinx = 2R

12/sinx = 16

sinx = 12/16

sinx = 3/4

Для того, чтобы найти сторону AD, воспользуемся теоремой синусов для ∆ADC:

AD/sin∠ACD = 2R

AD/sin(180-3x) = 2R

AD/sin3x = 2R

Найдем sin3x = sin(x+2x) = sinxcos2x + sin2xcosx = sinxcos2x + 2sinxcos2x = sinx(cos2x + 2cos2x) = sinx(2сos2x – 1 + 2cos2x) = sinx(4cos2x – 1) = sinx(4(1-sin2x) – 1) = sinx(3-4sin2x) = 3sinx – 4sin3x = 3⋅3/4 – 4⋅(3/4)3 = 9/4 – 27/16 = 36/16 – 27/16 = 9/16

Подставляем найденное значение sin3x в выражение AD/sin3x = 2R:

16AD/9 = 16

16AD = 144

AD = 9

Ответ: б) 9

Сурикова Надежда, репетитор по математике

Привет ! Меня зовут  Надежда. Я автор и ведущая курсов подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Последние записи :
Онлайн-школа "Прорыв"
онлайн-школа прорыв

ЗАДАТЬ ВОПРОС