ЕГЭ № 13 из сборника Ященко
В пирамиде ABCD ребра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причем DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.
Решение:
Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
а) Проведем DO⟂(ABC).
AD⟂DB, AD⟂DC => AD⟂(DBC)=> AD⟂BC (т.к. ВС ∈ (DBC))
DO⟂(ABC) => DO⟂BC (т.к. ВС ∈ (ABC) )
Т.к. DO⟂BC и AD⟂BC => BC⟂(ADO) => BC⟂AO (AO ∈ (ADO))
Аналогично BC⟂СO, BC⟂ВO. Тогда О – точка пересечения высот ∆АВС, т.е. О – центр ∆АВС и DABC – правильная пирамида.
б)
∆DMN~∆DAC (∠D – общий, DM:DA = DN:DC = 3:5 ) по углу и двум пропорциональным сторонам =>
MN/AC = DM/DA
MN/10 = 3/5
MN = 6
Т.к. DABC – правильная пирамида, то DA = DB = DC = 5x. Рассмотрим ∆DAB =>
AB2 = AD2 + BD2
102 = (5x)2 + (5x)2
100 = 50x2
x2 = 2
x = √2
Получаем, что DA = DB = DC =5√2, AM = 2√2, MD = 3√2.
∆ADB – равнобедренный и прямоугольный, тогда ∠DAB = ∠DBA = 45˚.
∆AMB: MB2 = AM2 + AB2 – 2⋅AM⋅AB⋅cos∠MAB
MB2 = (2√2)2 + 102 – 2⋅2√2⋅10⋅(√2/2)
MB2 = 8 + 100 – 40
MB2 = 68
MB = 2√17
Аналогично NB = 2√17
∆NBH: BH2 = NB2 – NH2
BH2 = (2√17)2 – 32
BH2 = 68 – 9
BH2 = 59
BH = √59
SMNB = 1/2⋅BH⋅NM = 1/2⋅√59⋅6 = 3√59
Ответ: б) 3√59

Привет ! Меня зовут Надежда. Я автор и ведущая курсов подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.