ЕГЭ № 13 ФИПИ Ященко Сборник

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер SA, SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2:1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины ребер SA, SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

а) Так как K, L — середины ребер AS и SD, то KL — средняя линия в ∆ASD. Тогда KL || AD.

Вспомним признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Отсюда следует, что прямая AD || плоскости (KLC). Тогда AD || BC, так как BC ∈ (KLC).

Проведем апофему SH грани ASB. Пусть Q — точка пересечения апофемы SH с плоскостью (KLC).

Рассмотрим ∆ASH и запишем для него теорему Менелая:

В итоге мы доказали то, что плоскость (KLC) делит апофему грани ASB в отношении 2:1, считая от вершины S.

б) Пусть W — точка пересечения высоты SO с плоскостью (KLC). Так как KL — средняя линия ∆ASD, то SW = WO.
Проведем через точки W и С прямую до пересечения с ребром SF в точке T.

Рассмотрим ∆FSO и напишем для него теорему Менелая:

Отношение, в котором плоскость (KLC) делит ребро SF, считая от вершины S, равно 1:2.

Ответ: б) 1:2