ЕГЭ профиль № 15
Экономическая задача

15 июля планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа 30-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;
• к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.

Решение:

Пусть S = 1400 тысяч рублей

k = (1 + 0,01r) — повышающий коэффициент

Так как кредит был взят 15-го числа, то 1-го числа следующего месяца на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит kS рублей

Известно, что 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Пусть b — сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа.

15-е число 1-го месяца: (kS — b)

15-е число 2-го месяца: (kS — 2b)

…

Тогда долг 15-го числа 30-го месяца составит (kS — 30b)

Получим следующее:

Долг 1-го числа 1-го месяца: kS

Платеж со 2-го по 14-е число 1-го месяца: kS — (S-b) = kS — S + b

Долг 15-го числа 1-го месяца: (S — b)

Долг 1-го числа 2-го месяца: k(S — b)

Платеж со 2-го по 14-е число 2-го месяца: kS — kb — (S-2b) = kS — kb — S + 2b

Долг 15-го числа 2-го месяца: (S — 2b)

Долг 1-го числа 30-го месяца: k(S —  29b)

Платеж со 2-го по 14-е число 30-го месяца: kS — 29kb — (S-29b) = kS — 29kb — S + 30b

Долг 15-го числа 30-го месяца: (S — 30b) = 500 тысяч рублей

Долг 1-го числа 31-го месяца: 500k

Платеж со 2-го по 14-е число 31-го месяца: 500k

Долг 15-го числа 31-го месяца: 0 рублей

Найдем b:

S — 30b = 500

1400 — 30b = 500

30b = 900

b = 30 тысяч рублей

Посчитаем общую сумму выплат:

30kS — 30S — kb(1 + … + 29) + b(1 + … + 30) + 500k = 30⋅k⋅1400 — 30⋅1400 — 30⋅k⋅435 + 30⋅465 + 500k = 42000k — 42000 — 13050k + 13950 + 500k = 29450k — 28050

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей:

29450k — 28050 = 1989

29450k = 30039

k = 1,02

Так как k = (1 + 0,01r), найдем r:

1 + 0,01r = 1,02

0,01r = 0,02

r = 2 %

 Ответ: 2%