Экономическая задача 7
ЕГЭ профиль № 15

В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет.
Условия его возврата таковы:

• в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
• в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 долг возрастает на 11%;
• долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю 2033 года долг должен быть погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?

Решение:

Пусть S — сумма, взятая в банке в кредит

k₁ = 1,15 — повышающий коэффициент

k₂ = 1,11 — повышающий коэффициент

Так как кредит был взят в июле 2025 года, то в январе 2026 года на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит k₁S рублей

Известно, что долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. То есть после платежа долг равномерно уменьшался от S до 0 на одну и ту же величину в течение 8 лет. Получаем, что S/8 — сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа:

Июль 2026 года: S — S/8 = 7S/8

Июль 2027 года: 7S/8 — S/8 = 6S/8

…Июль 2032 года: 2S/8 — S/8 = S/8

Июль 2033 года: S/8 — S/8 = 0

Получим следующее:

Долг в январе 2026 года: k₁S

Платеж по кредиту: k₁S — 7S/8

Долг в июле 2026 года: 7S/8

Долг в январе 2027 года: 7k₁S/8

Платеж по кредиту: 7k₁S/8 — 6S/8

Долг в июле 2027 года: 6S/8

Долг в январе 2029 года: 5k₁S/8

Платеж по кредиту: 5k₁S/8 — 4S/8

Долг в июле 2029 года: 4S/8

Долг в январе 2030 года: 4k₂S

Платеж по кредиту: 4k₂S — 3S/8

Долг в июле 2030 года: 3S/8

Долг в январе 2033 года: k₂S/8

Платеж по кредиту: k₂S/8

Долг в июле 2033 года: 0

Посчитаем общую сумму выплат:

k₁S(1+7/8+6/8+5/8) + k₂S(4/8+3/8+2/8+1/8) — S⋅(7/8+6/8+…+1/8+0)= 13k₁S/4 + 5k₂S/4 — 7S/2

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 650 тысяч рублей:

13⋅1,15⋅S/4 + 5⋅1,11⋅S/4 — 7S/2  = 650

14,95S + 5,55S — 14S = 2600

6,5S = 2600

S = 400 тысяч рублей

 Ответ: 400 тысяч рублей