ЕГЭ профиль № 8
Задача с тремя сплавами

Имеется сплав массой 112 кг, состоящий из никеля, меди и марганца. Масса никеля составляет 40% массы меди и марганца, а масса меди составляет 60% массы никеля и марганца. Сколько килограммов марганца содержится в сплаве?

Решение:

Пусть x кг — масса никеля, y кг — масса меди и z кг — масса марганца.

Масса никеля составляет 40% массы меди и марганца, то есть x=0,4(y+z).

Масса меди составляет 60% массы никеля и марганца, то есть y=0,6(x+z)

Масса никеля, меди и марганца равна 112 кг, то есть x+y+z=112

Имеем:

x = 0,4y + 0,4z (1)

y = 0,6x + 0,6z (2)

x + y + z = 112 (3)

Подставим (1) в (2) и (3) уравнения:

x = 0,4y + 0,4z (1)

y = 0,6(0,4y + 0,4z) + 0,6z (2)

0,4y + 0,4z + y + z = 112 (3)

Раскроем скобки:

x = 0,4y + 0,4z (1)

y = 0,24y + 0,24z + 0,6z (2)

0,4y + 0,4z + y + z = 112 (3)

Приведем подобные слагаемые:

x = 0,4y + 0,4z (1)
0,76y — 0,84z = 0 (2)

1,4y + 1,4z = 112 (3)

Домножим (1) и (3) уравнения на 10, (2) уравнение на 100:

10x = 4y + 4z (1)

76y — 84z = 0 (2)

14y + 14z = 1120 (3)

Поделим (1) уравнение на 2, (2) уравнение на 4, (3) уравнение на 14:

5x = 2y + 2z (1)

19y — 21z = 0 (2)

y + z = 80 (3)

Домножим (3) уравнение на 2 и поменяем правую и левую части местами:

5x = 2y + 2z (1)

19y — 21z = 0 (2)

160 = 2y + 2z (3)

Вычтем из (1) уравнения (3), получим:

5x — 160 = 0

5x = 160

x = 32

Тогда:
x = 32 (1)

19y — 21z = 0 (2)

160 = 2y + 2z (3)

Поделим (3) уравнение на 2 и выразим у:

x = 32 (1)

19y — 21z = 0 (2)

y = 80 — z (3)

Подставим (3) во (2) уравнение:

x = 32 (1)

19(80 — z) — 21z = 0 (2)

y = 80 — z (3)

Раскроем скобки и отдельно решим (2) уравнение:

1520 — 19z — 21z = 0

40z = 1520

4z = 152

2z = 76

z = 38

Получим:

x = 32 (1)

z = 38 (2)

y = 80 — z (3)

Подставим z = 38 в (3) уравнение:

x = 32 (1)

z = 38 (2)

y = 42 (3)

Ответ: 38 кг