ЕГЭ профиль № 8
Сложная задача на движение

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Когда первый пешеход прошел четверть пути от А до В, второму до середины пути оставалось пройти 1,5 км. Когда второй пешеход прошел половину пути от В до А, первый пешеход находился на расстоянии 2 км от второго. Найдите расстояние между А и В, если известно, что первый пешеход шел медленнее второго.

Решение:

Пусть весь путь равен 4S. Пусть скорость первого пешехода равна x км/ч, второго — y км/ч.

Когда первый пешеход прошел четверть пути: 4S/4 = S

Второму пешеходу до середины пути оставалось пройти 1,5 км: (2S-1,5)

Тогда время, которое затратил первый пешеход:

Время, которое затратил второй пешеход:

Так как они вышли одновременно, можем приравнять время:

Когда второй пешеход прошел половину пути от В до А: 2S

Первый пешеход находился на расстоянии 2 км от второго: (2S-2)

Тогда время, которое затратил первый пешеход:

Время, которое затратил второй пешеход:

Так как они вышли одновременно, можем приравнять время:

Получаем систему:

Выразим из первого уравнения х и подставим во второе уравнение:

Отдельно решим второе уравнение:

2S²y = y(2S-2)(2S-1,5)

Сократим на y и раскроем скобки:

2S² = 4S²-3S-4S+3

Перенесем все в одну сторону и решим квадратное уравнение:

2S²-7S+3=0

D = b²-4ac = (-7)²-4·2·3 = 49 — 24 = 25 = 5²

S₁ = (7+5)/4 = 3 км

S₂ = (7-5)/4 = 2/4 = 0,5 км

S₂ не подходит по условию задачи.

Найдем весь путь:

4S = 12 км

Ответ: 12 км