ЕГЭ профиль № 18
Числа на доске № 2

На доске в первой строке написано два последовательных натуральных числа n и n+1, а во второй — по одному разу те и только те натуральные числа, которые являются делителями какого-либо числа из первой строки. Например, если в первой строке написаны числа 3 и 4, то во второй строке написаны числа 1, 2, 3 и 4.

а) Может ли во второй строке быть написано ровно 6 чисел?

б) Может ли во второй строке быть написано ровно 4 числа, если n > 4?

в) Сколько существует таких чисел n > 2000, для которых во второй строке написано четное количество чисел?

Решение:

а) Да, например, если в первой строке написаны числа 9 и 10.
Делители числа 9 — это числа 1, 3, 9.

Делители числа 10 — это числа 1, 2, 5, 10.

Тогда во второй строке будут написаны числа 1, 2, 3, 5, 9, 10. Всего 6 чисел.

б) Так как из двух чисел n и n+1 одно — обязательное четное, во второй строке обязательно будут числа 1, 2, n и n+1, что уже дает 4 числа. Если число n — четное, тогда во второй строке обязательно будет число n/2. Если число (n+1) — четное, тогда во второй строке обязательно будет число (n+1)/2. Получаем, что во второй строке будет минимум 5 чисел. Противоречие. Нет, во второй строке не может быть написано ровно 4 числа.

в) Если некоторое натуральное число m не является квадратом никакого натурального числа, то у него четное количество делителей, так как каждому делителю d < √m числа можно сопоставить делитель m/d  > √m — тогда все делители числа m разобьются на пары. Если некоторое натуральное число m является квадратом натурального числа k, то у него нечетное количество делителей, так как каждому делителю d < √m числа можно сопоставить делитель m/d > √m — тогда все делители числа m, кроме k, разобьются на пары.

Числа n и n+1 имеют ровно один общий делитель — число 1. Оба числа n и n+1 не могут одновременно быть квадратами натуральных чисел. Если ни одно из чисел n и n+1 не является квадратом натурального числа, то каждое из них имеет четное количество делителей, а потому во второй строке будет написано нечетное количество чисел. Наконец, если ровно одно из чисел n и n+1 является квадратом натурального числа, то одно из них имеет четное количество делителей, а другое — нечетное. Значит, в этом случае во второй строке будет написано четное количество чисел.

Следовательно, во второй строке будет написано четное количество чисел тогда и только тогда, когда n или n+1 является квадратом натурального числа. Поскольку наибольший квадрат, меньший 2000, равен 44² = 1936, существует ровно 44 числа, которые являются квадратом натурального числа, и ровно 43 таких числа n < 2000, для которых n+1 является квадратом натурального числа. Значит, количество искомых чисел равно 87.

Ответ: а) Да, например, 1, 2, 3, 5, 9, 10; б) Нет; в) 87