ЕГЭ профиль № 13
Правильная четырехугольная призма

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 2√3, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах A1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что А1К = KD1, a DM:MD1=2:1.

а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC1.

Решение:

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, основанием которой служит квадрат.

Прямая призма — призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

а) Так как D1M:MD = 1:2, то D1M = 1; MD = 2.

Так как A1K = KD1, то A1K = KD1 = √3.

△BDC:BD² = BC² + CD²

BD² = (2√3)²+(2√3)²

BD² = 24

△A1B1B: A1B² = A1B1² + B1B²

A1B² = (2√3)²+3²

A1B² = 21

△KD1M: KM² = KD1² + D1M²

KM² = (√3)²+1²

KM² = 4

△BMD:BM² = BD² + MD²

BM² = 24+2²

BM² = 28

△A1KB: BK² = A1K² + A1B²

BK² = (√3)²+21

BK² = 24

Заметим, что для △KBM: BM² = KM² + BK².

Значит △KBM — прямоугольный. Тогда BM — гипотенуза и KM⊥BK.

б) Плоскости (BCC1) и (ADD1) параллельны, то есть (BCC1) || (ADD1). Тогда ∠(BMK; BCC1) = ∠(BMK; ADD1).

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к линии пересечения плоскостей.

Линия пересечения плоскостей (BMK) и (ADD1) -отрезок KM.

BK ⊥ KM. Пусть LK ⊥ KM. Тогда∠(BMK;ADD1) = ∠LKB = α

Заметим, что в △KD1M: KM = 2·D1M. Тогда ∠MKD1 = 30° и ∠KMD1 = 60°.

△A1KL:∠A1KL = 180°-∠LKM-∠MKD1 = 180° — 90° — 30° = 60°. Тогда∠KA1L = 30°.

tg∠A1KL = tg60° = A1L/A1K → A1L = A1K·tg60° = √3·√3 = 3 → L = A и∠(BMK;ADD1) = ∠AKB = α

AK² = AA1²+A1K² = 3²+(√3)² = 12 = (2√3)²

△KAB — прямоугольный: tgα = AB/AK = (2√3)/(2√3) = 1. Тогда∠(BMK;BCC1) =∠(BMK;ADD1) = α = 45°

Ответ: б) 45°