Телефон: +7 958 637 93 06

e-mail: info@ege100ballov.ru

Числа на доске ЕГЭ профиль № 19

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.

Решение:

Пусть a<b<c<d<e<f<g<h<i<j<k — числа, написанные на доске

(a+b+c+d+e+f)/6 = 8 → (a+b+c+d+e+f) = 48

(e+f+g+h+i+j+k)/7 = 14 → (e+f+g+h+i+j+k) = 98

  1. a) Пусть k = 16, тогда (e+f+g+h+i+j) = 98 — k = 98 — 16 = 82

Рассмотрим наибольшее значение суммы (e+f+g+h+i+j): (e+f+g+h+i+j) = 10+11+12+13+14+15 = 75. Но нам надо, чтобы (e+f+g+h+i+j) = 82. Отсюда следует, что k не может равняться 16.

б) (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)/11 = 10 → (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k) = 110

(a+b+c+d) = 48 — (e+f), так как (a+b+c+d+e+f) = 48

(g+h+i+j+k) = 98 — (e+f), так как (e+f+g+h+i+j+k) = 98

Тогда получаем:

(a+b+c+d)+e+f+(g+h+i+j+k) = 110

48-(e+f)+e+f+98-(e+f) = 110

146-(e+f) = 110

(e+f) = 36

Отсюда получаем, что (g+h+i+j+k) = 98 — (e+f) = 98-36 = 62

Рассмотрим минимальное значение f: f = 19

Тогда минимальное значение (g+h+i+j+k) = 20+21+22+23+24 = 110 → Среднее арифметическое всех одиннадцати чисел не может равняться 10.

в) Пусть S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел, тогда

(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j) = 11S

146 — (e+f) = 11S → S будет принимать наименьшее значение тогда, когда (e+f) будет принимать наибольшее значение

Минимальное значение (a+b+c+d) = 1+2+3+4 = 10 → (e+f) < 39

Пусть (e+f) = 38, тогда (g+h+i+j+k) = 98-38 = 60

Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 21+22+23+24+25 = 115 → (e+f) не может равняться 38

Аналогичным образом перебираем все возможные значения…

Пусть (e+f) = 24, тогда (g+h+i+j+k) = 98-24 = 74

Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 14+15+16+17+18 = 80 → (e+f) не может равняться 24

Пусть (e+f) = 23, тогда (g+h+i+j+k) = 98-23 = 75

Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 13+14+15+16+17 = 75 → максимальное значение (e+f) = 23

Получаем:

11S = 146-(e+f)

11S = 146-23

11S = 123

S = 123/11

Ответ: а) нет; б) нет; в) 123/11

Онлайн-школа "Прорыв"
онлайн-школа прорыв

ЗАДАТЬ ВОПРОС