онлайн-школа прорыв

Телефон: +7 977 895 49 59

e-mail: info@ege100ballov.ru

Вписанная окружность ЕГЭ профиль № 16

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника AB1C1.

а) Докажите, что C1Q – биссектриса угла АС1В1.

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1С1, если известно, что ВС = 7. АВ = 15, АС = 20.

Решение:

ЕГЭ профиль № 16 окружность

а) Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Тогда АС= АВ1.

∆АС1F = ∆AB1F (по двум сторонам и углу между ними: AF – общая сторона, AC1 = AB1, ∠FAC1 = ∠FAB1 – по условию). Тогда С1F = B1F, то есть ∆QC1B1 – равнобедренный треугольник.

Угол, образованный касательнoй и хордой, проходящей через точку касания, равен половине величины дуги, заключенной между его сторонами:

Касательная – AC1

Хорда – QC1

Дуга, заключенная между касательной и хордой, – QC1

Тогда ∠QC1A = ◡QC1/2

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠QB1F = ◡QC1/2

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠QB1F = ∠QС1F

Получаем: ∠QB1F = ∠QС1F = ∠QC1A = ◡QC1/2 => QC1 – биссектриса угла AC1F.

б) Заметим, что AQ и C1F пересекаются в точке Q. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника, то есть в точке Q. Тогда расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1С1, равно отрезку OQ = r (где r – радиус окружности, вписанной в треугольник АВС)

Вспомним формулу: S = pr (p – полупериметр треугольника). Отсюда получаем, что r = S/p

По формуле Герона находим площадь треугольника АВС:

вписанная окружность ЕГЭ профиль № 16

S = 42

p = 21

r = S/p = 42/21 = 2

Ответ: б) 2

Сурикова Надежда, репетитор по математике

Привет ! Меня зовут  Надежда. Я автор и ведущая курсов подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Последние записи :
Онлайн-школа "Прорыв"
онлайн-школа прорыв

ЗАДАТЬ ВОПРОС