ЕГЭ профиль № 18
Автобусы

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б — больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше. 

а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?

б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300?

в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А. 

Решение:

Пусть  а и b — количество мест в автобусах А и Б, тогда:

40<a<50

50<b<60

Пусть n — количество автобусов модели Б. Тогда (n+1) — количество автобусов модели А. 

Пусть S — количество детей. Тогда:

S=b·n=a·(n+1)

а) n=4 — количество автобусов модели Б

4b=5a → a=4b/5 

Если b=55, то a=44 → Да, может. 

б) S<300 — максимальное количество детей в группе 

b·n=a·(n+1)<300

1) b·n<300 → n(max)<300/b(min) → n(max)<300/51

2) a·(n+1)<300 → n(max)+1<300/a(min) → n(max)<259/41

1)+2) → n(max)<300/51 → n(max) = 5

Пусть n=5, тогда 5b=6a → b=6a/5

Если a=45, то b=54. И наибольшее возможное количество детей в группе: S= b·n = 54·5 = 270

в) b·n=a·(n+1) → n=a/(b-a)→max

Количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min

a=49:

n=49/(b-49) 

Если b=56, то n=7. 

a=48:

n=48/(b-48) 

Если b=51, то n=16. 

a=47:

n=47/(b-47) 

Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет. 

a=46:

n=46/(b-46) 

Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет. 

a=45:

n=45/(b-45) 

Если b=53, то n=9. 

И так далее…

Так как количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min, то при a=48 и b=51 количество n автобусов моделей Б равно 16. Количество (n+1) автобусов моделей А равно 17. 

Ответ: а) Да; б) 270;