ЕГЭ профиль

Номер 8 Стереометрия

Задача:
В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде?

ЕГЭ профиль

Решение:

Так как жидкость принимает форму сосуда, вспомним, чему равен объем цилиндра:

ЕГЭ профиль

При переливании жидкости из одного сосуда в другой, объём жидкости не меняется. Значит, мы можем выразить объемы жидкостей в первом и втором сосудах и приравнять их.

Объём жидкости в первом сосуде:

ЕГЭ профиль

Объём жидкости во втором сосуде:

ЕГЭ профиль

Приравняем объёмы и найдём высоту жидкости во втором сосуде:

ЕГЭ профиль

Ответ: 4

Номер 8 Правильная пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка О — центр основания, SO = 35, SD = 37. Найдите длину отрезка BD.

правильная пирамида

SO – высота пирамиды, значит SO⊥OD и ΔSOD – прямоугольный.

Запишем для ΔSOD теорему Пифагора:

подготовка к егэ профиль

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырехугольник, т.е. квадрат. Рассмотрим квадрат ABCD:

правильная четырехугольная пирамида

Ответ: 24

Номер 9 Косинус двойного угла

Найдите cos2β, если sin2β = 0,55.

косинус прямого угла

Рассмотрим 2 способа решения.

1 способ

Запишем формулу косинуса двойного угла:

подготовим к егэ по математике

Так как в формуле есть cos2β, найдём его через основное тригонометрическое тождество:

номер 9 егэ профиль

Подставим все известные значения в первоначальную формулу и найдём cos2β:

косинус егэ профиль

Ответ: 0,1

2 способ

Запишем чуть менее известную формулу косинуса двойного угла, вывод которой приведён в конце*. Преимущество данной формулы в том, что без дополнительных вычислений можно сразу найти cos2β:

задача 9 косинус

Ответ: 0,1

*Вывод формулы:

репетитор егэ математика профильный

Номер 14 Правильная шестиугольная пирамида

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М – середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.

А) Докажите, что КМ = КВ.

Б) Найдите объём пирамиды CDKM.

правильный шестиугольник

Решение:

А) SO – высота пирамиды, т.е. SO⊥(ABC); прямые MD и FC пересекаются в точке K1.

Вспомним признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Т.к. SO⊥(ABC) и SO∈(SFC), то (ABC)⊥(SFC).

Тогда KK1⊥(ABC) → KK1 – высота треугольника MKD.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF:

егэ профиль репетитор

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, значит соответственные углы DAM и DOK1 равны, т.е. ∠DAM= ∠DOK1=60°.

По признаку параллельности прямых AM||OK1.

AO=DO, AM||OK1 → OK1 – средняя линия ΔADM → MK1=K1D → KK1 – высота и медиана в ΔMKD → ΔMKD – равнобедренный, т.е. KМ=KD.

Б) Построим пирамиду CDKM:

репетитор егэ профиль

подготовка к егэ по математике

номер 14 егэ профиль

онлайн-школа прорыв

подготовим к егэ по маткматике

математика репетитор

Номер 14 Правильная четырехугольная пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем АМ = 2, SK = 1. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а) Докажите, что плоскость α содержит точку С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

правильная четурехугольная пирамида

Решение:

а) SO – высота пирамиды SABCD. Опустим из точки K перпендикуляр KH на плоскость ABCD и рассмотрим Δ KBH и Δ SBO.

Δ KBH ~ Δ SBO по двум углам (∠В – общий, ∠BKH=∠BSO (соответственные углы при KH || SO и секущей BS)). Значит, SK/KB = OH/HB → OH/HB = 1/6 = x/6x, где х – одна часть.

Точка О – центр основания, т.е. BO = DO = 7x.

Пусть прямая MH пересекает сторону ВС в точке F, сторону AD — в точке E. Рассмотрим Δ МАЕ и Δ MBF.

егэ профиль № 14

Δ МАЕ ~ Δ MBF по двум углам (∠EMA = ∠FMB (как вертикальные), ∠MAE =∠MBF = 90°) → AM/MB = EA/FB = 2/6 = 1/3 = y/3y, где у – одна часть.

Запишем теорему Менелая для ΔABD:

репетитор математика

y = 8/3 → EA = y = 8/3 и BF = 3y = 8.

Но BC = 8 и BF = 8 → C = F → Плоскость α проходит через точку С.

б) Сечение пирамиды плоскостью α – ΔKMH.

Т.к. Δ KBH ~ Δ SBO, то KH = 6/7⋅SO

ΔSOB: SO² = SB² — OB² = 7² — (4√2)² = 17 → SO = √17 → KH = 6/7⋅√17

ΔCMB: CM² = BM² + BC² = 6² + 8² = 100 → CM = 10

Сурикова Надежда репетитор

 

Номер 14 Правильная четырехугольная призма

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 2√3, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах A1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что А1К = KD1, a DM:MD1=2:1.

а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC1.

Решение:

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, основанием которой служит квадрат.

Прямая призма — призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

ЕГЭ профиль

а) Так как D1M:MD = 1:2, то D1M = 1; MD = 2.

Так как A1K = KD1, то A1K = KD1 = √3.

ЕГЭ профиль

BDC:BD² = BC² + CD²

BD² = (2√3)²+(2√3)²

BD² = 24

 

A1B1B: A1B² = A1B1² + B1B²

A1B² = (2√3)²+3²

A1B² = 21

 

KD1M: KM² = KD1² + D1M²

KM² = (√3)²+1²

KM² = 4

 

BMD:BM² = BD² + MD²

BM² = 24+2²

BM² = 28

 

A1KB: BK² = A1K² + A1B²

BK² = (√3)²+21

BK² = 24

 

Заметим, что для △KBM: BM² = KM² + BK².

Значит △KBM — прямоугольный. Тогда BM — гипотенуза и KM⊥BK.

 

б) Плоскости (BCC1) и (ADD1) параллельны, то есть (BCC1) || (ADD1). Тогда ∠(BMK; BCC1) = ∠(BMK; ADD1).

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к линии пересечения плоскостей.

Линия пересечения плоскостей (BMK) и (ADD1) -отрезок KM.

BK ⊥ KM. Пусть LK ⊥ KM. Тогда∠(BMK;ADD1) = ∠LKB = α

ЕГЭ профиль

Заметим, что в KD1M: KM = 2·D1M. Тогда ∠MKD1 = 30° и ∠KMD1 = 60°.

A1KL:∠A1KL = 180°-∠LKM-∠MKD1 = 180° — 90° — 30° = 60°. Тогда∠KA1L = 30°.

tg∠A1KL = tg60° = A1L/A1K → A1L = A1K·tg60° = √3·√3 = 3 → L = A и∠(BMK;ADD1) = ∠AKB = α

ЕГЭ профиль

AK² = AA1²+A1K² = 3²+(√3)² = 12 = (2√3)²

ЕГЭ профиль

△KAB — прямоугольный: tgα = AB/AK = (2√3)/(2√3) = 1. Тогда∠(BMK;BCC1) =∠(BMK;ADD1) = α = 45°

Ответ: б) 45°

Номер 14 Конус

Радиус основания конуса равен 12,а высота конуса равна 5. 

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие. 

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса. 

Решение:

а) Пусть AS и BS — взаимно перпендикулярные образующие, т.е. AS⊥BS. Так как сечение проходит через взаимно перпендикулярные образующие и вершину конуса S, то сечение конуса плоскостью – треугольник △ASB. 

ЕГЭ профиль

б) Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. 

Образующие в конусе равны → AS = BS и△ASB  — равнобедренный. Тогда высота SH, проведённая из вершины прямого угла, также является биссектрисой и медианой, т.е. AH = BH. 

ЕГЭ профиль

SH — наклонная, ОН — проекция наклонной. АВ⊥SH, тогда AB⊥OH (по теореме о трёх перпендикулярах). 

Проведём OK⊥SH → OK — расстояние от центра основания до плоскости сечения.  

△SOB: SB² = SO² + BO² = 25 + 144 = 169 → SB = 13

△ASB: AB² = AS² + BS² = 169 + 169 = 338 → AB = 13√2 и AH = BH = (13√2)/2

△SHB: SH² = SB² — HB² = 169 — 169/2 = 169/2 → SH = (13√2)/2

△OHB: OH² = OB² — HB² = 144 — 169/2 = 119/2 → OH = (√119)/(√2)

△OHS: OH·OS = OK·SH 

OK = (OH·OS)/SH = (√119·5·2)/(√2·13·√2) = (5√119)/13

Ответ: OK = (5√119)/13

Номер 14 Правильная треугольная пирамида

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник АВС со стороной 48. Все боковые ребра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK = FN = 10. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости АВС.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану АМ в отношении 1:3.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.

Решение:

правильная треугольная пирамида

а) Точка О — точка пересечения медиан треугольника, тогда АО:МО = 2:1 → АО = 2·МО.

△KFN ~ △BFC ( KF:BF = NF:CF = 1:4, ∠F — общий ) → ∠KNF = ∠BCF (соответственные углы при прямых ВС и KN и секущей FC) → KN || BC → BC || α (если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости).

FN:NC = 1:3, FO || NL → OL:LC = 1:3 (теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки)

HL || MC → OH:HM = 1:3 (теорема Фалеса) → OH = HM/3

Рассмотрим отношение AH/HM:

AH/HM = (AO+OH)/HM = (2·MO+OH)/HM = (2·(OH+HM)+OH)/HM = (3·OH+2·HM)/HM = (HM+2·HM)/HM = 3 = 3/1 = 3:1

б) Так как BC || α, то расстояние от точки С до плоскости α равно расстоянию от точки М до плоскости α, т.е. ρ(С;α) = ρ(M;α). Плоскость α ⟂ (АВС), тогда ρ(С;α) = ρ(M;α) = HM = AM/4 (см.пункт а) ).

егэ профиль № 14

△ACM: AM² = AC² — CM² = 48² — 24² = 1728 → AM = 24√3

Тогда HM = AM/4 = 6√3

Ответ: б) 6√3

Номер 14 Пирамида

Основание пирамиды SABC — равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки M и N -середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём SN = AM.

а) Докажите, что угол между прямыми АМ и SN равен 60°.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ВС = 3√2.

 Решение:

пирамида егэ

а) Угол между скрещивающимися прямыми — угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Проведём через точку N прямую KF || AM.

Пусть α = ∠ SNF, тогда угол между прямыми AM и SN = ∠ (AM; CM) = α

егэ номер 14 пирамида

Опустим из точки А перпендикуляр на прямую FK

SA⟂(ABC), SD — наклонная, AD⟂FK, тогда SD⟂FK (по теореме о трёх перпендикулярах)

егэ № 14 пирамида

△ABM: NK || AM, AN = NB, тогда NK — средняя линия → NK = AM/2 = SN/2 → BK = KM = BM/2 = BC/4 → BC = AC = AB = 4BK

△ABC: AM — медиана, высота и биссектриса → △ABM — прямоугольный

Из вершины прямого угла M проведена медиана NM, тогда AN = NM = NB → △ADN = △NKB (по гипотенузе и острому углу, т.к. ∠AND = ∠ KNB как вертикальные) → DN = NK

△ABM: AM² = AB² — BM² = 16BK² — 4BK² = 12BK² → AM = SN = 2√3BK → NK = AM/2 = √3BK = DN

△SDN: cosα = DN/SN = (√3BK)/(2√3BK) = 1/2 → α = 60°

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Прямая SN принадлежит плоскости (SDN).

Опустим из точки А перпендикуляр AL на прямую SD. Тогда AL — расстояние между скрещивающимися прямыми AM и SN.

пирамида егэ № 14

ADKM — прямоугольник, тогда AD = KM = BC/4 = (3√2)/4

△SAN: AS² = SN² — AN² = 12BK² — 4BK² = 8BK² → AS = 2√2BK = 2√2·(BC/4) = 2√2·(3√2/4) = 3

 

△SAD: SD² = AS² + AD² = 9 + 9/8 = 81/8 → SD = (9√2)/4

Известно, что AD·AS = AL·SD → AL = (AD·AS)/SD → AL = 1

Ответ: б) 1

Номер 16 Четырехугольник + окружности

В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин – точка О.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.

четырехугольник ЕГЭ № 16

Решение:

а) Δ ABO = ΔCBO по катету и острому углу (BO – общая сторона, ∠ АВО = ∠ СВО  — по условию ) → АВ = СВ и АО = СО;

Δ ADO = ΔCDO по катету и острому углу (DO – общая сторона, ∠ АDО = ∠ СDО  — по условию ) → АD = СD и АО = СО;

Т.к. AB = CB и AD = CD, то AB + CD = CB + AD → в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

б) Т.к. АО = СО и АС = 12, то АО = СО = 6

Пусть BO = y, тогда DO = 13 — y

По свойству пересекающихся хорд AO ⋅ CO = BO ⋅ DO:

6 ⋅ 6 = у ⋅ (13-у)

у = 4 или у = 9

Если у = 4, то ВО = 4 и DO = 9

Если у = 9, то BO = 9 и DO = 4

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна S = pr, где p – полупериметр четырехугольника, S – площадь четырехугольника, r – радиус вписанной окружности.

Площадь и полупериметр четырехугольника ABCD через диагонали и угол между ними:

окружности ЕГЭ № 16

Δ ABO: AB² = AO² + BO² = 6² + 9² = 117 → AB = √117 = 3√13

Δ ADO: AD² = AO² + DO² = 6² + 4² = 52 → AD = √52 = 2√13

Тогда полупериметр p = AB+ CD = 3√13 + 2√13 = 5√13

Радиус вписанной окружности:

егэ профиль № 16

 

Номер 16 Прямоугольник

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен 75°. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол APB равен 150°.

а) Докажите, что углыBAP и POB равны.

б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если AP=6√3 иBP=4.

ЕГЭ профиль

Решение:

а) ∠DOC = 180° — ∠D — ∠C = 180° — 75° — 75° = 30°

∠DOC = ∠AOB = 30° (вертикальные углы)

∠PAB + ∠PBA = 180°-∠P=180°-150°=30°

∠PAO+∠PBO = ∠PAB+∠PBA+∠OAB+∠OBA = 30°+75°+75°=180°

∠APB+∠AOB = 150°+30°=180°

Сумма противоположных углов четырехугольника ABCD равна 180°, значит вокруг него можно описать окружность.

ЕГЭ профиль

∠BAP и ∠POB опираются на дугу PB →∠BAP = ∠POB.

б) Пусть ∠BAP = ∠POB = х. Тогда ∠AOP = ∠COF = 30°-x.

В треугольнике ΔCOF∠CFO = 180°-∠FCO-∠COF = 180° — 75° — 30°+ x = 75°+ x

Тогда по теореме синусов для ΔCOF имеем:

ЕГЭ профиль

Значит, необходимо найти sinx/cosx и сторону CO.

Теорема косинусов для ΔAPB:

AB²= AP² + PB² — 2⋅AP⋅PB⋅cos150° = 196 →AB = 14

Теорема синусов для ΔAPB:

ЕГЭ профиль

Номер 16 Треугольник

В треугольнике АВС известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Решение:

а)

ЕГЭ профиль

Опустим высоту ВН на сторону АС, т.е. BH⟂AC

Так как MN — средняя линия, то MN || AC

→ MN ⟂ BH → △KLO — прямоугольный, тогда KO — гипотенуза и

KO > LO

Пусть r — радиус вписанной окружности, тогда KO = r и r > LO → MN пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б)

ЕГЭ профиль

Точка Е — точка касания вписанной окружности с боковой стороной △АВС. Тогда АЕ = АН = 13 ( если к окружности из одной точки проведены две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны).

AM = BM = 38/2 = 19 (т.к. MN — средняя линия)

EM = AM — AE = 19 — 13 = 6

r = EO = HO = KO

△EMO: MO² = EM² + EO²

△MLO: LO² = MO² — ML²

△KLO: KL² = KO² — LO² = KO² — (MO² — ML²) = KO² — MO² + ML² = KO² — (EM²+EO²) + ML² = KO² — EM² — EO² + ML² = r² — 6² — r² + (13/2)² = 169/4 — 36 = 25/4 → KL = 5/2

Аналогично LF = 5/2

Тогда KF = KL + LF = 5/2 + 5/2 = 5

MK = ML — KL = 13/2 — 5/2 = 8/2 = 4

FN = LN — LF = 13/2 — 5/2 = 4

Получаем MK:KF:FN = 4:5:4

Ответ: б) 4:5:4

Номер 16 : Планиметрия

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AD = CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 12, ∠ВАС = 35°, ∠АСВ = 65°.

Решение:

планиметрия 

а) △ABD — прямоугольный, так как сторона BD содержит центр описанной окружности.

Пусть ∠ABD = x°, тогда ∠ADB = 90°-x°

∠ADB = ∠ACB = 90°-x° (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)

△BCH: ∠CBH = 180°-∠BCH-∠BCH = 180°-90°-(90°-x°)=x°

Получаем, что ∠ABD = ∠CBF = x° → AD = CF (равные вписанные углы опираются на равные хорды).

планиметрия егэ 16

б) ∠ВОС = 2∠ВАС = 2·35° = 70° (центральный угол)

△ВОС — равнобедренный, так как ВО=СО=R → ∠CBO = (180°-∠BOC)/2 = (180°-70°)/2 = 55°

△BCH: ∠CBH = 180°-∠BHC-∠BCH = 180°-90°-65°=25°

∠FBD = ∠CBO -∠CBH = 55°-25° =30°

△FBD — прямоугольный, так как сторона BD содержит центр описанной окружности. Тогда BD = 2R = 24

Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы → FD = BD/2 = 24/2 = 12

Ответ: б) 12

Номер 17 Бригада рабочих

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает р человек, то каждый из них получает в сутки 200р руб. Если на втором объекте работает р человек, то каждый их них получает в сутки (50р+300) руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Решение:

Пусть на первом объекте работает р человек, тогда на втором объекте работает (30-р) человек. 

Так как зарплата одного человека на первом объекте 200р руб., то все рабочие на первом объекте получают 200р² руб. 

Так как зарплата одного человека на втором объекте (50р+300) руб., то все рабочие на втором объекте получают (50(30-р)+300)(30-р) руб. 

Суммарная суточная зарплата S:

S = 200p² + (50(30-p)+300)(30-p) = 250p²-3300p+54000 →min

Для того, чтобы найти минимальное значение S найдём производную и приравняем её к нулю:

S` = 500p-3300 = 0 →р = 6,6 — точка минимума

егэ 17 бригада рабочих

При p = 6,6 суточная зарплата S →min, но р- число рабочих на первом объекте, поэтому р — целое число. График непрерывной функции S – парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, необходимо проверить ближайшие целые числа, т.е. р = 6 и р = 7:

S(6) = 250·36-3300·6+54000 = 43200 руб. 

S(7) = 250·49-3300·7+54000 = 43150 руб. 

S принимает минимальное значение при р = 7. Т.е. необходимо отправить 7 рабочих на 1-й объект и 23 рабочих — на 2-й объект. 

Ответ: 1-й объект — 7 рабочих, 2-й объект — 23 рабочих. Наименьшая суточная зарплата — 43150 руб. 

Номер 17 Экономическая задача

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
  • 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
  • к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Решение:

S = 1000000рублей = 1000 тысяч рублей

b = 40 тысяч рублей

k = 1+r/100, где r — процент по кредиту

Долг после платежа (на 15-е число каждого месяца) уменьшается по следующей схеме:

1-й месяц: S-b = 960

2-й месяц: S-2b = 920

3-й месяц: S-3b = 880

..

n-й месяц: S-nb = 200 (*)

(n+1)-й месяц: 0, т.к. долг должен быть полностью погашен

Найдём n из (*):

1000 — 40n = 200

40n = 800

n = 20

Кредит был взят на (n+1) = на 21 месяц

Долг на 1-е число каждого месяца (после начисления процентов) равен:

1-й месяц: Sk = 1000k

2-й месяц: (S-b)k = 960k

3-й месяц: (S-2b)k = 920k

n-й месяц: S-(n-1)b)k = 240k

(n+1)-й месяц: 200k

Тогда платеж со 2-го по 14-е число каждого месяца равен:

1-й месяц: 1000k-960

2-й месяц: 960k-920

3-й месяц: 940k-880

n-й месяц: 240k-200

(n+1)-й месяц: 200k

Общая сумма выплат равна:

(1000+960+…+240)k-(960+920+…+200)+200k = 1378

12600k-11600 = 1378

12600k = 12978

12600(1+r/100) = 12978

12600+126r = 12978

126r = 378

r = 3%

Ответ: 3%

Номер 17 Кредит в банке

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей. 

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года) ?

 

Решение:

Пусть S — размер кредита, взятого в банке

b = 2,523 млн рублей — размер ежегодной выплаты

k = 1,16

 

1 год:

Январь: kS — размер долга после начисления процентов по кредиту

Февраль — июнь: b — размер выплаты

Июль-декабрь: (kS-b) — размер долга после первой выплаты по кредиту

 

2 год:

Январь: (k²S-kb) — размер долга после начисления процентов по кредиту 

Февраль-июнь: b — размер выплаты

Июль-декабрь: (k²S-kb-b) — размер долга после второй платы по кредиту 

 

Так как после второй выплаты весь долг должен быть полностью погашен, то:

k²S-kb-b = 0

k²S-b(k+1)=0

1,16²·S-2,523·(1,16+1)=0

S=4,05 млн рублей

 

Ответ: 4,05 млн рублей

Номер 17: Экономическая задача (часть 3)

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашён двумя равными платежами (то есть за два года) ?

Решение:

Пусть S — размер кредита, взятого в банке

b = 3,249 млн рублей — размер ежегодной выплаты

k = 1,14

1 год:

Январь: kS — размер долга после начисления процентов по кредиту

Февраль — июнь: b — размер выплаты

Июль-декабрь: (kS-b) — размер долга после первой выплаты по кредиту

2 год:

Январь: (k²S-kb) — размер долга после начисления процентов по кредиту

Февраль-июнь: b — размер выплаты

Июль-декабрь: (k²S-kb-b) — размер долга после второй платы по кредиту

Так как после второй выплаты весь долг должен быть полностью погашён, то:

k²S-kb-b = 0

k²S-b(k+1) = 0

1,14²·S-3,249·(1,14+1) = 0

S=5,35 млн рублей

Ответ: 5,35 млн рублей

Номер 19 Викторина

Оля участвовала в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствии ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Оля набрала 35 баллов.

а) На сколько вопросов Оля ответила правильно, если в викторине было 24 вопроса?

б) На сколько вопросов Оля не дала ответа, если в викторине было 25 вопросов?

в) На сколько вопросов Оля ответила неверно, если в викторине было 37 вопросов?

Решение:

Пусть х — кол-во вопросов, на которые Оля ответила правильно, тогда 8х — кол-во баллов, которые были начислены за правильные ответы;

Пусть у — кол-во вопросов, на которые Оля ответила неверно, тогда 8у — кол-во баллов, которые были списаны за неверные ответы;

Пусть z — кол-во вопросов, на которые Оля не дала ответа, тогда 3z — кол-во баллов, которые были списаны за отсутствие ответа

x+y+z — общее число вопросов

8х-8у-3z = 35 — общее кол-во набранных баллов по викторине

а) х+у+z = 24 — общее число вопросов

8х-8у-3z=35 — общее кол-во набранных баллов

Выразим из 1-го уравнения х и подставим его во 2-е уравнение:

8(24-у-z)-8у-3z = 35

192-8у-8z-8у-3z = 35

157-16у-11z = 0

Корни уравнения у = 5 и z = 7:

157-16·5-11·7 = 0

157-80-77 = 0

0 = 0

Тогда х = 24-у-z = 24-5-7 = 12

Т.е. кол-во правильных ответов — 12, неверных — 5, без ответа — 7

б) х+у+z = 25

8x-8y-3z = 35

Выразим из 1-го уравнения х и подставим его во 2-е уравнение:

8·(25-y-z)-8y-3z = 35

200-8y-8z-8y-3z = 35

165-16y-11z = 0

Корни уравнения у = 0 и z = 15:

165-16·0-11·15 = 0

165-0-165 = 0

0 = 0

Тогда х = 25-у-z = 25-0-15 = 10

Т.е. кол-во правильных ответов — 10, неверных — 0, без ответа — 15

в) x+y+z = 37

8x-8y-3z = 35

Выразим из 1-го уравнения х и подставим его во 2-е уравнение:

8·(37-y-z)-8y-3z = 35

296-8y-8z-8y-3z = 35

261-16y-11z = 0

Корни уравнения у = 6 и z = 15:

261-16·6-11·15 = 0

261-96-165 = 0

0 = 0

Тогда х = 37-у-z = 37-6-15 = 16

Т.е. кол-во правильных ответов — 16, неверных — 6, без ответа — 15

Ответ: а) 12; б) 15; в) 6

Номер 19 Монеты

У Миши в копилке есть 2-рублевые, 5-рублевые и 10-рублевые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублевая. Если взять 15 монет, то среди них найдётся хотя бы одна 5-рублевая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублевая.

а) Может ли у Миши быть 30 монет?

б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?

в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?

Решение:

Из условия понятно, что у Миши минимум 20 монет.

Рассмотрим 1 условие: если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублевая.  И начнём прибавлять по 1 монете к общему числу монет.

Среди 10 монет будет обязательно одна 2-рублевая, среди 11 монет – две, среди 12 монет – три и т.д.

Пусть 2-рублевые монеты зеленого цвета, 5-рублевые – оранжевого, 10-рублевые – желтые. Белые кружки — любая монета.

монеты егэ 19

В общем случае условие можно записать следующим образом:

(х – 9) – минимальное количество 2-рублевых монет, где х – общее число монет.

Продолжим добавлять по 1 монете к общему числу монет. Так как монет уже 15 и больше, то добавляем 5 — рублевые монеты. Для 5-рублевых монет условие аналогичное:

(х – 14) – минимальное количество 5-рублевых монет, где х – общее число монет

егэ 19 монеты

Начинаем добавлять 10-рублевые монеты.

(х – 19) –  минимальное количество 10 -рублевых монет, где х – общее число монет

репетитор математика

Если добавить еще 1 монету, то условие задачи выполнено не будет. Мы видим, что максимальное количество монет – 21.

а) нет, так как максимальное количество монет – 21.

Можно рассмотреть альтернативное решение:

Известно, что (х-9) – минимальное количество 2-рублевых монет. Значит, 2-рублевых монет будет минимум (30-9) = 21

Минимальное количество 5-рублевых монет: (30-14) = 16

Минимальное количество 10-рублевых монет: (30-19) = 11

Значит, минимальное количество 2-рублевых, 5-рублевых и 10-рублевых – (21+16+11) = 48 > 30 –противоречие.

б) 21

Мы знаем, что у Миши минимум 20 монет.

Пусть у Миши 21 монета. Тогда:

Минимальное количество 2-рублевых монет (21-9) = 12

Минимальное количество 5-рублевых монет (21-14) = 7

Минимальное количество 10-рублевых монет (21-19) = 2

Значит, минимальное количество 2-рублевых, 5-рублевых и 10-рублевых – (12+7+2) = 21.

Пусть у Миши 22 монеты. Тогда:

Минимальное количество 2-рублевых монет (22-9) = 13

Минимальное количество 5-рублевых монет (22-14) = 8

Минимальное количество 10-рублевых монет (22-19) = 3

Значит, минимальное количество 2-рублевых, 5-рублевых и 10-рублевых – (13+8+3) = 24 > 22 – противоречие.

Значит, максимальное количество монет у Миши – 21.

в) У Миши может быть либо 20 монет, либо 21. Посчитаем, какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши.

Если у Миши 21 монета, то у него 12 2-рублевых монет, 7 5-рублевых и 2 10-рублевых. Значит, у него будет (12*2+7*5+2*10) = 21+35+20 = 76 рублей.

Если у Миши 20 монет, то у него 11 2-рублевых, 6 5-рублевых и 1 10-рублевая. Плюс у него может быть еще 2 любые монеты. Чтобы сумма была максимальной, добавим ему еще 2 10-рублевые монеты. Значит, у него будет (11*2+6*5+3*10) = 22+30+30 = 82 рублей.

Тогда наибольшая сумма рублей у Миши – 82 рубля.

Ответ: а) нет; б) 21; в) 82

Номер 19 Автобусы

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б — больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше. 

а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?

б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300?

в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А. 

Решение:

Пусть  а и b — количество мест в автобусах А и Б, тогда:

40<a<50

50<b<60

Пусть n — количество автобусов модели Б. Тогда (n+1) — количество автобусов модели А. 

Пусть S — количество детей. Тогда:

S=b·n=a·(n+1)

а) n=4 — количество автобусов модели Б

4b=5a → a=4b/5 

Если b=55, то a=44 → Да, может. 

б) S<300 — максимальное количество детей в группе 

b·n=a·(n+1)<300

1) b·n<300 → n(max)<300/b(min) → n(max)<300/51

2) a·(n+1)<300 → n(max)+1<300/a(min) → n(max)<259/41

1)+2) → n(max)<300/51 → n(max) = 5

Пусть n=5, тогда 5b=6a → b=6a/5

Если a=45, то b=54. И наибольшее возможное количество детей в группе: S= b·n = 54·5 = 270

в) b·n=a·(n+1) → n=a/(b-a)→max

Количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min

a=49:

n=49/(b-49) 

Если b=56, то n=7. 

a=48:

n=48/(b-48) 

Если b=51, то n=16. 

a=47:

n=47/(b-47) 

Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет. 

a=46:

n=46/(b-46) 

Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет. 

a=45:

n=45/(b-45) 

Если b=53, то n=9. 

И так далее…

Так как количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min, то при a=48 и b=51 количество n автобусов моделей Б равно 16. Количество (n+1) автобусов моделей А равно 17. 

Ответ: а) Да; б) 270; в) 17

Номер 19 : Квадрат и прямоугольник

Сторона квадрата на 3 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон — целые числа.

а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 8?

б) Может ли длина прямоугольника быть равной 16?

в) Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.

Решение:

Пусть сторона квадрата — х, тогда ширина прямоугольника — (х-3). Пусть длина прямоугольника — у.

Площадь квадрата = x²

Площадь прямоугольника = (x-3)y

Так как площади квадрата и прямоугольника равны, то x²=(x-3)у

а) Ширина прямоугольника равна 8, т.е. х-3=8. Тогда х = 11.

Получаем: 11²=8·у → y=121/8

Но стороны квадрата и прямоугольника — целые числа. Следовательно, ширина прямоугольника не может быть равной 8.

б) Длина прямоугольника равна 16, т.е. у=16

Получаем: x²=16(x-3)

x²-16x+48 = 0

D = 16²-4·1·48=256-192=64

x1=(16+8)/2=12 (сторона квадрата) → стороны прямоугольника равны 9 и 16

x2=(16-8)/2=4 (сторона квадрата) → стороны прямоугольника равны 1 и 16

→ Да, длина прямоугольника может быть равной 16.

в) x²=(x-3)у → x>3

x=4: стороны прямоугольника равны 1 и 16 (см.пункт б))

x=5: 5²=(5-3)у → y=25/2 → не подходит

x=6: 6²=(6-3)у → y=36/3=12 → стороны прямоугольника равны 3 и 12

(последовательно перебираем все варианты)

x=12: стороны прямоугольника равны 9 и 16 (см.пункт б))

Ответ: а) нет; б) да; в) 4×4 и 1×16; 6×6 и 3×12; 12×12 и 9×16

Онлайн-школа "Прорыв"